Скорость при прямолинейном движении с постоянным ускорением

Равноускоренное движение

Графиком скорости при равноускоренном движении является прямая.

Равноускоренное прямолинейное движение — это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т. е. это движение с постоянным по модулю и направлению ускорением.

— уравнение ускорения.

По определению ускорения .

Пусть в момент времени t₀ = 0 скорость тела равна , в момент времени t — . Тогда за промежуток времени скорость изменилась на Следовательно, ускорение

— уравнение скорости.

Или в проекциях: .

Эти зависимости кинематических величин от времени изобразим графически для трех тел (рис. 1).

Рис. 1

Графики ускорения a_x = f(t) представлены на рисунке 2, а графики скорости υ_x = f(t) — на рисунке 3.

Для нахождения перемещения воспользуемся графиком скорости (рис. 4).

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Для малого промежутка времени Δt изменением величины скорости можно пренебречь и скорость можно считать постоянной. Тогда перемещение за промежуток времени Δt будет равно площади узкой густо заштрихованной полоски. Мысленно разбив все время движения тела на малые промежутки времени и найдя перемещение за каждый отдельный промежуток времени, суммируем эти перемещения. Модуль проекции перемещения за промежуток времени $~\Delta t = t - t_0 = t$ в пределе численно равен площади заштрихованной трапеции.

Следовательно,

$~\Delta r_x = \frac{\upsilon_{0x} + \upsilon_x}{2} t . \qquad (1)$

Подставив значение $~\upsilon_x = \upsilon_{0x} + a_x t$ в (1), получим:

$~\Delta r_x = \upsilon_{0x} t \frac{a_x t^2}{2}$ — уравнение перемещения в проекциях;

$~\Delta \vec r = \vec \upsilon_0 t \frac{\vec a t^2}{2}$ — уравнение перемещения в векторном виде.

Учитывая, что $~x = x_0 + \Delta r_x$ , имеем:

$~x = x_0 + \upsilon_{0x} t \frac{a_x t^2}{2}$ — кинематическое уравнение равноускоренного движения.

Его векторный вид: $~\vec r = \vec r_0 + \vec \upsilon_0 t \frac{\vec a t^2}{2}$ .

Исключая из уравнений скорости и перемещения время t, получим:

$~\Delta r_x = \frac{\upsilon^2_x - \upsilon^2_{0x}}{2a_x} t \Rightarrow \upsilon_x = \sqrt{\upsilon^2_{0x} + 2a_x \Delta r_x} .$

Сравнивая выражение (1) с формулой $~\Delta r_x = \mathcal h \upsilon \mathcal i_x t$ , найдем:

$~\mathcal h \upsilon \mathcal i_x = \frac{\upsilon_{0x} + \upsilon_x}{2}$ — проекция средней скорости при равноускоренном движении.

Графиком перемещения является парабола, положение вершины которой зависит от направлений начальной скорости и ускорения (рис. 5).

Рис. 5

Тесты: Равноускоренное движение

Тренажер "Зависимость скорости и ускорения тела от времени"

Презентация на тему "Скорость прямолинейного движения. График скорости."