Функции
второго порядка ещё называют кривыми второго порядка.К
ним относятся:
Окружность
Окружность- замкнутая плоская кривая, все точки которой
одинаково удалены от данной точки (центра). Если R -
радиус окружности - расстояние каждой его точки до
центра, то длина окружности выразится числом 2pR, а
площадь ею ограниченная, числом pR2 , где
p=3,14159 - отношение длины окружности к её диаметру.
Уравнение окружности в
прямоугольной системе координат:
(x-c)2 + (y-d)2
= R2,
где, c и d
- координаты центра.
Отметим, что движение по окружности часто
встречается в физике и технике, по круговой
траектории движутся люди при катании на колесе
обозрения, карусели, по круговым орбитам могут
двигаться искусственные спутники Земли. Хорошо
известна планетарная модель атома водорода по
Резерфорду. В центре атома находится ядро, а
электрон вращается вокруг него.
Эллипс
Эллипс(греч.
elleipsis - недостаток) - линия пересечения
прямого кругового конуса плоскостью, не
проходящей через вершину конуса и
пересекающей все прямолинейные образующие
одной полости этого конуса.
Эллипс - множество точек М
плоскости (рис.1), сумма расстояний r1=
МF1 и
r2= МF2
которых до двух определенных точек F1(-c,0)
и F2(c,0) этой
плоскости (фокусов эллипса) постоянна
r1+r2=2а.
Середина
0 отрезка F1F2
(фокусного расстояния)называется
центром эллипса.
|
Рис.1. |
В прямоугольной системе координат
0ху
с началом в центре эллипса, на
оси 0х которой лежат фокусы
эллипса уравнение эллипса имеет
следующий вид
х2/а2+у2/в2=1, в2=а2-с2,
где а и в -
длинны большой и малой полуосей эллипса. При
а=в фокусы F1 и
F2 совпадают и
указанное уравнение определяет окружность,
которая рассматривается как частный случай
эллипса.
Эллипс - центральная линия второго
порядка.
Эллипс - замкнутая линия,
симметричная относительно осей 0x
и 0y главных (большой
и малой) осей и центра.
Форма эллипса (его "вытянутость")
определяется значением эксцентриситета
e=c/a<1 (для окружности е=0)
Прямые D1D1'
и D2D2'
(рис.1), параллельные малой оси эллипса и
отстоящие от его центра на расстоянии
d=±a/e, называются директрисами
эллипса, соответствующими фокусами F1
и F2. Отношение
расстояний любой точки эллипса до фокуса к
расстоянию её до соответствующей директрисы
постоянно и равно эксцентриситету r1/d1=r2/d2=e.
Площадь эллипса S=pi*a*в,
pi=3,14159.
Отметим, что по эллипсам движутся планеты
вокруг Солнца.
Название "Эллипс" ввёл Аполлоний Пергский,
рассматривая эллипс как одно из конических
сечений.
Парабола
Парабола
(греч. parabole) – кривая второго порядка.
Прямая
пересекает ее не более чем в двух точках .
При этом
парабола может быть
определена как:
-множество
точек М(xy)
плоскости, расстояние FM которых
до определенной точки F этой
плоскости (фокуса параболы) равно расстоянию
MN до определенной прямой АN
- директрисы параболы;
-линия
пересечения прямого кругового конуса плоскостью,
не проходящей через вершину конуса и
параллельная какой либо касательной плоскости
этого конуса;
-в
прямоугольной системе координат 0ху
с началом в вершине параболы и осью 0х
направленной по оси параболы уравнение параболы
имеет так называемый канонический вид
y2=2px,
где р
(фокальный параметр) - расстояние от фокуса до
директрисы.
Отметим, что по параболе движется тело в
однородном поле силы тяжести, брошенное под
углом к горизонту, и заряженная частица в
однородном электрическом поле плоского
конденсатора.
Гипербола
Гипербола
(греч. hyperbole) - плоская кривая линия;
- множество
точек М плоскости разность (по
абсолютной величине) расстояний F1M
и F2M которых до
двух определенных точек F1
и F2 этой плоскости (фокусов
гиперболы) постоянна: F1M
- F2M=2а<2с
Середина
0 отрезка F1F2
(фокусного расстояния) называется центром
гиперболы;
- линия
пересечения прямого кругового конуса плоскостью,
не проходящей через вершину конуса и
пересекающая обе его полости ;
- в
прямоугольной системе координат
0ху
с началом в
центре гиперболы, на оси 0х
которой лежат фокусы гиперболы уравнение
гиперболы имеет так называемый канонический
х2/а2
- у2/в2=1,
в2=с2 - а2,
где а
и в длины полуосей гиперболы.
Отметим, что по гиперболе движутся тела,
навсегда покидающие Землю, скорость которых
больше, чем 2-я космическая (11,2 км/c). Также
по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте
Резерфорда при рассеивании их ядром атома.
