Векторы

Никто не будет спорить, что к месту назначения невозможно добраться не зная направления движения. В физике это понятие называется вектором. До этого момента мы с вами оперировали некоторыми числами и значениями, которые называются величинами. Вектор отличается от величины наличием направления.

При работе с вектором оперируют его направлением и величиной. Физический параметр без учета направления называют скаляром.

Визуально вектор отображают в виде стрелки. Длина стрелки - величина вектора.

В физике для обозначения векторов используют заглавную букву со стрелкой наверху.

Векторы можно сравнивать. Два вектора будут равны, если они имеют одинаковую величину и направление.

1. Сложение векторов

Вектора можно складывать. Результирующий вектор является суммой обоих векторов и определяет расстояние и направление. Например, вы проживаете в Киеве и решили проведать старых друзей в Москве, а оттуда сделать визит к любимой теще во Львов. Насколько далеко вы будете находиться от родного дома, гостюя у мамы жены?

Сложение векторов

Для ответа на этот вопрос вам надо начертить вектор от исходной точки путешествия (Киев) и до конечной (Львов). Новый вектор определяют результат всего путешествия от начала и до конца.

Вектор А - Киев-Москва
Вектор В - Москва-Львов
Вектор С - Киев-Львов

С = А+В, где С - сумма векторов или результирующий вектор

2. Вычитание векторов

Вектора можно не только складывать, но и вычитать! Для этого надо совместить основания вычитаемого и вычитающего векторов и соединить их концы со стрелками:

Вычитание векторов

Вектор А = С-В
Вектор В = С-А

3. Векторы и числа

Наложим на наши вектора координатную сетку. Для вектора А можно сказать, что он направлен на 5 клеток вверх (положительное значение оси Y) и на 3 клетки влево (отрицательное значение оси Х): X=-3; Y=5.

Для вектора В: направление на 4 клетки влево и 7 клеток вниз: X=-4; Y=-7.

Т.о., для сложения векторов по осям X и Y надо сложить их координаты. Чтобы получить координаты результирующего вектора по осям X и Y:

А(-3;5) + В(-4;-7) = С(-7;-2)

4. Разбиение векторов на координаты

Рассмотрим задачу: шар движется со скоростью 10м/с по наклонной плоскости с длиной основания X=1м, распложенной под 30° к горизонту. Требуется определить время, за которое шар переместится от начала к концу плоскости.

Разбиение векторов на координаты

В данной задаче скорость является вектором V с величиной 10м/с и направлением α=30° к горизонтали. Чтобы определить скорость перемещения шара вдоль основания наклонной плоскости, нам надо определить X-составляющую перемещения шара, которая является скаляром (имеет только значение, но не направление) и обозначается V_x. Аналогично, Y-составляющая скорости также скаляр и обозначается V_y. Вектор скорости через составляющие: V = (V_x;V_y)

Определим составляющие (V_x;V_y). Вспоминаем тригонометрию:

V_x = V·cosα
V_y = V·sinα

Х-составляющая скорости шара:

V_x = V·cosα = V·cos30° = 10,0·0,866 = 8,66 м/с

Горизонтальная скорость шара равна 8,66 м/с.

Т.к. длина основания наклонной плоскости равна 1м, то это расстояние шар преодолеет за:

1,00(м)/8,66(м/с) = 0,12 с

Т.о., шару потребуется 0,12с для перемещения вдоль наклонной плоскости. Ответ: 0,12с

Интереса ради определим Y-составляющую скорости:

V_y = V·sinα = 10·1/2 = 5,0 м/с

Поскольку время "путешествия" шара одинаково для обеих составляющих, то можем определить высоту Y, с которой катился шар:

5,0(м/с)·0,12(с) = 0,6 м

Расстояние, пройденное шаром:

L = √1,00² + 0,60² = √1,36 = 1,16м

Обратная задача

Рассмотрим задачу, обратную предыдущей:

Шар переместился вдоль наклонной плоскости на высоту 0,6м, при этом в горизонтальной плоскости его перемещение составило 1,0м. Необходимо найти расстояние, пройденное шаром и угол.

Расстояние вычисляем по теореме Пифагора:

L = √1,00² + 0,60² = √1,36 = 1,16м

По тригонометрии:

X = L·cosα; Y = L·sinα

X/L = cosα; Y/L = sinα

Теперь можно найти угол:

α = arccos(X/L); α = arcsin(Y/L)

Подставляем цифры:

α = arccos(1/1,16) = 30°

Промежуточное вычисление L можно исключить:

Y = X·tgα

α = arctg(Y/X)